فعالیت صفحه 63 ریاضی یازدهم هنرستان
در زیر نمودارهای چهار تابع رسم شده است. در هر مورد، مجموعۀ جواب‌های نامعادله f(x)≥0 را مشخص کنید.
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت صفحه 63 ریاضی یازدهم هنرستان
برای حل این مسائل، باید نمودارهای داده شده را تحلیل کنیم تا نقاطی که مقدار $f(x)$ در آنها برابر یا بزرگتر از صفر است را بیابیم. برای هر نمودار، نقاطی که بر روی محور x می‌باشند، نقاطی هستند که تابع صفر است و نقاط بالاتر از محور x، نقاطی هستند که تابع مثبت است. بنابراین باید بازه‌ای از محور x را پیدا کنیم که تمام نقاط آن یا روی محور یا بالای محور قرار دارند.
فعالیت صفحه 63 ریاضی یازدهم هنرستان
نامعادله‌های زیر را حل کنید. الف) 2x−3<0 ب) 3x^2-5x−1>0 پ) −x^2+4x+3≥−2
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت صفحه 63 ریاضی یازدهم هنرستان
الف) برای حل نامعادله 2x−3<0، ابتدا 3 را به دو طرف اضافه می‌کنیم:
$$2x < 3$$
سپس هر دو طرف را بر 2 تقسیم می‌کنیم:
$$x < \frac{3}{2}$$
بنابراین، جواب این نامعادله بازه $x < \frac{3}{2}$ است.
ب) برای حل نامعادله $3x^2 - 5x - 1 > 0$ از روش مقاطع استفاده می‌کنیم:
1. تابع را برابر صفر قرار می‌دهیم و ریشه‌های آن را پیدا می‌کنیم:
$$3x^2 - 5x - 1 = 0$$
2. ریشه‌یابی می‌کنیم:
با استفاده از فرمول مربع ریشه:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
که در اینجا: $a = 3$, $b = -5$, $c = -1$
با جایگذاری:
$$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 12}}{6}$$
$$x = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{6}$$
3. سپس بازه بین این ریشه‌ها را مشخص می‌کنیم که تابع در آن مثبت است.
پ) برای حل نامعادله $-x^2+4x+3\geq-2$ ابتدا آن را به صورت معادله‌ای نوشته و حل می‌کنیم:
$$-x^2 + 4x + 3 + 2 \geq 0$$
$$-x^2 + 4x + 5 \geq 0$$
با تغییر دادن به شکل استاندارد، نقاط بحرانی را محاسبه کرده و برای تعیین بازه‌هایی که نمودار بالای محور $x$ وجود دارد محاسبه می‌کنیم.
فعالیت صفحه 63 ریاضی یازدهم هنرستان
پرتابه ای به طور عمودی به هوا پرتاب می‌شود. ارتفاع این پرتابه از سطح دریا (برحسب متر) به صورت تابعی از زمان (برحسب ثانیه) با رابطه h(t) =−5t^2+100t داده شده است. مشخص کنید در چه بازۀ زمانی، ارتفاع این پرتابه بیش از 200 متر خواهد بود.
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت صفحه 63 ریاضی یازدهم هنرستان
برای حل این مسئله، باید نامعادله زیر را حل کنیم:
$$h(t) = -5t^2 + 100t > 200$$
ابتدا آن را به صورت معادله ای برای تعیین ریشه ها می‌نویسیم:
$$-5t^2 + 100t - 200 = 0$$
با تقسیم تمام طرفین بر -5، ساده‌تر می‌شود:
$$t^2 - 20t + 40 = 0$$
با استفاده از فرمول مربع ریشه:
$$t = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \times 1 \times 40}}{2}$$
$$t = \frac{20 \pm \sqrt{240}}{2}$$
پس این بازه زمانی بین دو مقدار $t_1$ و $t_2$ بدست می‌آید که در آن تابع بالاتر از 200 است.
فعالیت صفحه 63 ریاضی یازدهم هنرستان
مقدار x را طوری بیابید که اندازۀ محیط مثلث از اندازۀ مساحت مربع کمتر باشد.
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت صفحه 63 ریاضی یازدهم هنرستان
برای حل این مسئله، فرض کنید متغیر $x$ برای یک مثلث با محیط $P$ و مساحت مربع با $A$ داده شده است.
**ابتدا محیط مثلث را حساب می‌کنیم.**
اگر اضلاع مثلث با توجه به نمودار باشند $x + 4$, $x + 5$, $x + 8$. محیط:
$$P = (x + 4) + (x + 5) + (x + 8)$$
**محیط $P$:**
$$P = 3x + 17$$
**حال مساحت مربع:**
اگر ضلع مربع برابر $x + 5$ باشد، مساحت $A$ برابر با:
$$A = (x + 5)^2$$
**شرط ما:**
$$3x + 17 < (x + 5)^2$$
حل این نابرابری برای $x$ بازه‌هایی را می‌دهد که در آن محیط مثلث کوچکتر از مساحت مربع باشد.
فعالیت صفحه 63 ریاضی یازدهم هنرستان
علی به تازگی یک کارگاه تولید قطعات یدکی راه اندازی کرده است. درآمد حاصل از فروش کالا به قیمت p (برحسب تومان) از قانون R(p) =−100p^2+50000p به دست می‌آید. به ازای چه مقادیری برای p، میزان درآمد شرکت بیش از 10,000,000 خواهد بود.
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت صفحه 63 ریاضی یازدهم هنرستان
برای یافتن بازه مورد نظر، باید نامعادله زیر را حل کنیم:
$$R(p) = -100p^2 + 50000p > 10000000$$
ابتدا نامعادله را به صورت معادله بنویسیم:
$$-100p^2 + 50000p - 10000000 = 0$$
ساده سازی می‌کنیم با تقسیم بر 100:
$$-p^2 + 500p - 100000 = 0$$
برای یافتن مقادیر $p$ که این معادله را ارضا می‌کند، از فرمول مربع ریشه استفاده می‌کنیم:
$$p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
در اینجا: $a = -1$, $b = 500$, $c = -100000$
با جایگذاری:
$$p = \frac{-500 \pm \sqrt{250000 + 400000}}{-2}$$
$$p = \frac{-500 \pm \sqrt{650000}}{-2}$$
ریشه‌های موجود در این بازه، مقادیری می‌دهند که وقتی $p$ در آنها باشد، درآمد بیش از 10,000,000 است.
